Puhkusehüvitis kasutamata puhkuse eest

Puhkusehüvitist kasutamata puhkuse eest saab vaid töölepingu lõppemisel, samas kui ma jään samasse asutusse tööle uuele ametikohale ja uue lepinguga, kas mul on õigus saada eelmisel ametikohal kasutamata jäänud puhkuse eest kompensatsiooni?

Ei.
Töölepingus tehakse vaid vajalikud muudatused tööle asumise aeg ja muu selline jääb kehtima.

Samas kui töö iseloom on hoopis teine ja töölepingut ei muudeta vaid sõlmitakse käsundusleping?

Siis sul ju hetke töökohta tööleping lõppeb ja tööandjal tuleb maksta töötajale välja ka lõpparve.
Teadmiseks ka, et käsundusleping on VÕS leping millele TLS üldse ei kehti.